Unidad 1 - Métodos Numéricos

Para continuar más a fondo con el tema veremos lo que es un algoritmo...

Algoritmo:

Un algoritmo es un procedimiento el cual funciona mediante una determinada lista de instrucciones las cuales especifican una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas que darán como resultado la solución de un determinado problema.

Para realizar un algoritmo es necesario mencionar los siguientes aspectos para llevarlo a cabo:

-Ser definido: Cada paso del algoritmo debe indicar cada acción a realizar.
-Ser finito: Debe finalizar al completarse.
-Tener cero o más entradas.
-Tener una o más salidas.
-Efectividad: Todas las operaciones deben ser lo suficientemente básicas para que puedan hacerse exactamente en un determinado tiempo, no mayor que el que le tome a una persona empleando lápiz y papel.

Ejemplo de un Algoritmo

• Calcular los números pares e impares ingresados por teclado

ALGORITMO:  Par o impar

DESCRIPCION: Elabora un algoritmo para leer un numero  y determinar si es par o impar.

VARIABLE: Entero: N

INICIO
1.  Leer N
2. Si (N%2=0) entonces
Escribir “N en par”
Si no
Escribir  “N es impar”
Fin _ sí
FIN

Aproximaciones

Ciertas cifras decimales consisten en hallar el número con las cifras pedidas que este muy próximo al número ingresado.
En la aproximación por defecto siempre se busca el número con una cantidad de números de cifras que es menor que el ingresado.
La aproximación por exceso es cuando el número con las cifras decimales fijas es mayor al numero ya ingresado.

Por ejemplo, dado el número 1.3456 vamos a aproximarlo con dos cifras decimales:
a) por defecto es 1.34
b) por exceso es 1.35

Al dar la aproximación en lugar del número se comete un error, en el ejemplo anterior los errores que se cometen son:
a) | 1.3456 - 1.34 | = 0.0056
b) | 1.3456 - 1.35 | = 0.0044


Al dar la aproximación en lugar del número se comete un error, en el ejemplo anterior los errores que se cometen son:
a) | 1.3456 - 1.34 | = 0.0056
b) | 1.3456 - 1.35 | = 0.0044

Redondear un numero consiste en dar la mejor de las aproximaciones, es aquella con la que se comete un error menor, en el caso anterior si se redondea 1.3456 a dos cifras decimales, el redondeo será 1.35. 
En algunos conceptos básicos de los métodos numéricos se puede encontrar las siguientes cifras: cifras significativas, precisión, exactitud, incertidumbre y sesgo.
Todo debido a que forman parte de las aproximaciones y predicciones numéricas mas adecuadas.

Pseudocódigo:

El pseudocódigo es un termino que es utilizado en la informática, ésta trata de un falso lenguaje, debido a que apela a un lenguaje de programación para que pueda ser leído por humanos y no interpretado por una máquina.

Para que una persona pueda leer e interpretar dichos datos (código) se excluyen diversos datos que
no son clave para comprenderlos.

Un pseudocódigo se emplea cuando se pretende describir un determinado algoritmo sin la necesidad de difundir su origen.

De esta manera será más fácil de comprender el mensaje para los humanos a diferencia de tener un lenguaje de programación real.

Para realizar un pseudocódigo se necesita que su estructura esté conformada por lo siguiente:
> Una cabecera, que a su vez debe estar compuesta de las siguientes partes: el programa, el módulo, los tipos de datos, las constantes y las variables.
> El cuerpo (inicio, instrucciones y fin).
> Ejecutable en cualquier ordenador.
> Lenguaje independiente
> Sencillo y fácil de utilizar
> Al momento de realizar un pseudocódigo hay que tener en cuenta que se utilizan diversos tipos
de estructuras de control.
En concreto son de tres clases: secuenciales, selectivas e integrativas

Dicho esto pueden ser utilizados en obras científicas y educativas para desarrollo de software.

Diagrama de flujo:

El diagrama de flujo es la representación de las secuencias de pasos lógicos de manera estructurada y ordenada, con el objetivo de realizar una tarea determinada mediante símbolos, dentro de ellos se escriben los pasos que realizará para la solución del problema, en concreto un diagrama de flujo representa de manera clara, ordenada y concisa de los pasos a realizarse en una representación gráfica o simbólica del proceso.

1.2 Tipos de errores:

Los métodos numéricos producen aproximaciones a la solución de los problemas, por ello siempre hay que medir el error del resultado, para tener una idea de que tan aproximado esta a la solución.

Error absoluto:

Es la diferencia entre el valor exacto (un número determinado, por ejemplo) y su valor calculado o redondeado.

Error relativo:

Es el error absoluto dividido entre un número positivo adecuado. Generalmente, el divisor es una de tres elecciones: la magnitud del valor exacto, la magnitud del valor calculado (o redondeado) o el promedio de estas dos cantidades.

Error absoluto y relativo:
a   = Valor aproximado
a* = Valor real

El valor absoluto = E
E = |a*-a|

El valor relativo = Er
Er = E/a*

El cual es llamado: Error porcentual

Ejemplo :

• Calcular el error absoluto y relativo de a* y  a

-> a  =0.50 * 10-2
-> a*=0.51 * 102
 
solución 

E = | a*-a |

 0.51*10^2  - 0.50 * 10^2   =  0.01 * 10^2   =  1.00


Er = E/ a*

(0.01 * 10^2)/0.50 *10^2  = 0.02 *  100 =  2%

Error de redondeo:
Es causado debido que al momento de realizar los cálculos del método numérico o analítico requiere y son causado a la imposibilidad de tomar todas las cifras que resultan de operaciones aritméticas como los productos y los cocientes, teniendo que mantener en cada una de las operaciones el número de las cifras que permita el instrumento de cálculo que se esté operando.

El error de redondeo existen dos tipos:

>El error de redondeo inferior (Se eliminan los dígitos que no se pueden conservar dentro de la memoria en el que se encuentre)

> Error de redondeo superior (Este caso tiene dos alternativas dependiendo el signo del número en particular):

Para los números positivos, el último dígito que se puede conservar en la localización de memoria incrementa en una unidad si el primer dígito despreciado es mayor o igual a 5.

Para números negativos, el último dígito que se puede conservar en la localización de la memoria se reduce en una unidad si el primer dígito despreciado es mayor o igual a 5.

Truncamiento:

Existen muchos procesos que requieren la ejecución de un numero infinito de instrucciones para hallar la solución exacta de un determinado problema.
Puesto que es totalmente imposible realizar infinitas instrucciones, el proceso debe truncarse. En consecuencia, no se halla la solución exacta que se pretendía encontrar, sino una aproximación a la misma.
Al error producido por la finalización prematura de un proceso se le denomina error de truncamiento. Un ejemplo del error generado por este tipo de acciones es el desarrollo en serie de Taylor.
Este es independiente de la manera de realizar los cálculos, solo depende del método numérico empleado.

1.3 Convergencia:

Se dice que existe convergencia al utilizar un método numérico para resolver un problema en particular cuando, mientras más iteraciones se hacen se obtiene una mejor aproximación al resultado.

Infografía - Métodos Numéricos - Mijangos P. Ariel

Bibliografía: 

Smith, W. A., “Análisis Numérico”, Prentice- Hall; 1998.

Prawda Witenberg, Juan, Métodos (1976). Modelos de Investigación de Operaciones: Editorial Limusa

Carrasco Venegas, Luis. (2002 ). Métodos Numéricos. Lima Perú: Editorial América.

Curtis, F.G., “Análisis Numérico”, Alfaomega, 2ª ed., 1991.
http://www.areatecnologia.com/diagramas-de-flujo.htm

Iriarte V., Balderrama, R., “Métodos Numéricos”, Trillas:UNAM, Facultad de Ingeniería, 1990.

Atkinson y Harley, “Introducción a los métodos numéricos con PASCAL”, Addison-Wesley Iberoamericana, México, 1987.

Educando.la . (2015). Importancia de los métodos numéricos . 6 feb. 2015, de Educando.la Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=aB2xxAMQUrA

RICARDO S. (2009). METODOS NUMERICOS PARA INGENIERIA. 8 Octubre 2009, de LiMetNum2 Sitio web: http://disi.unal.edu.co/~lctorress/MetNum/LiMetNu2.pdf